حل تمرین صفحه 87 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 87 - تمرین 1 برای محاسبه‌ی **محیط مثلث $ABC$**، به طول هر سه ضلع آن نیاز داریم: $AB$، $BC$ و $AC$. $$\text{محیط} = AB + BC + AC$$ از روی شکل داریم: $AB = 15 \text{ cm}$ و $BC = BD + DC$. همچنین، $DC = 5 \text{ cm}$. ما باید طول‌های $BD$ و $AC$ را با استفاده از **رابطه‌ی فیثاغورس** در دو مثلث قائم‌الزاویه‌ی $ABD$ و $ADC$ محاسبه کنیم. --- ### **۱. محاسبه‌ی طول ضلع $BD$** در مثلث قائم‌الزاویه‌ی $ABD$ (قائمه در $D$): $AB$ وتر، و $AD$ و $BD$ اضلاع قائم هستند. $$AD^2 + BD^2 = AB^2$$ $$(12)^2 + BD^2 = (15)^2$$ $$144 + BD^2 = 225$$ **محاسبه $BD^2$:** $$BD^2 = 225 - 144$$ $$BD^2 = 81$$ **محاسبه $BD$:** $$BD = \sqrt{81}$$ $$\mathbf{BD = 9 \text{ cm}}$$ --- ### **۲. محاسبه‌ی طول ضلع $AC$** در مثلث قائم‌الزاویه‌ی $ADC$ (قائمه در $D$): $AC$ وتر، و $AD$ و $DC$ اضلاع قائم هستند. $$AD^2 + DC^2 = AC^2$$ $$(12)^2 + (5)^2 = AC^2$$ $$144 + 25 = AC^2$$ $$AC^2 = 169$$ **محاسبه $AC$:** $$AC = \sqrt{169}$$ $$\mathbf{AC = 13 \text{ cm}}$$ --- ### **۳. محاسبه‌ی محیط مثلث $ABC$** ابتدا طول ضلع $BC$ را محاسبه می‌کنیم: $$BC = BD + DC = 9 + 5 = 14 \text{ cm}$$ حالا محیط را محاسبه می‌کنیم: $$\text{محیط} = AB + BC + AC$$ $$\text{محیط} = 15 + 14 + 13$$ $$\mathbf{\text{محیط} = 42 \text{ cm}}$$ **نکته:** در واقع، اضلاع مثلث $ABD$ ($9, 12, 15$) و مثلث $ADC$ ($5, 12, 13$) هر دو از سه‌تایی‌های فیثاغورسی معروف هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 87 - تمرین 2 برای تعیین اینکه یک مثلث قائم‌الزاویه است یا خیر، از **عکس رابطه‌ی فیثاغورس** استفاده می‌کنیم. در مثلث قائم‌الزاویه، مجموع مجذورهای دو ضلع کوچک‌تر (اضلاع قائم) باید برابر با مجذور ضلع بزرگ‌تر (وتر) باشد. اگر این تساوی برقرار باشد، مثلث قائم‌الزاویه است. $$\text{ضلع کوچک‌تر اول}^2 + \text{ضلع کوچک‌تر دوم}^2 = \text{ضلع بزرگ‌تر}^2$$ --- ### **۱. بررسی مثلث قرمز:** اضلاع: $4$، $6$، $7$. (ضلع بزرگ‌تر $7$ است) * **محاسبه مجموع مجذور اضلاع کوچک‌تر:** $$4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$$ * **محاسبه مجذور ضلع بزرگ‌تر (وتر فرضی):** $$7^2 = 49$$ چون $52 \neq 49$، پس **مثلث قرمز قائم‌الزاویه نیست**. --- ### **۲. بررسی مثلث آبی:** اضلاع: $6$، $8$، $10$. (ضلع بزرگ‌تر $10$ است) * **محاسبه مجموع مجذور اضلاع کوچک‌تر:** $$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$ * **محاسبه مجذور ضلع بزرگ‌تر (وتر فرضی):** $$10^2 = 100$$ چون $100 = 100$، پس **مثلث آبی قائم‌الزاویه است**. **نتیجه‌گیری:** تنها مثلث آبی یک مثلث قائم‌الزاویه است. به این مجموعه از اعداد ($6$، $8$، $10$)، **سه‌تایی فیثاغورسی** گفته می‌شود.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 87 - تمرین 3 این مسئله یک کاربرد دیگر از **رابطه‌ی فیثاغورس** است. مسیر قرمز رنگ بین طبقات، در واقع **وتر** مثلث‌های قائم‌الزاویه‌ی فرضی است که با ارتفاع عمودی (اختلاف طبقات) و فاصله‌ی افقی بین ستون‌ها تشکیل می‌شوند. **اطلاعات مسئله:** * **فاصله افقی (ضلع قائم افقی) در تمام مسیرها:** $9$ متر. * **ارتفاع عمودی (ضلع قائم عمودی):** برای طبقات میانی $3$ متر است. برای طبقه‌ی اول $1.5$ متر است. --- ### **۱. محاسبه طول مسیر برای طبقات میانی (مسیر طبقات ۲ به ۳، ۳ به ۴، ۴ به ۵ و ۵ به ۶):** در این حالت، مثلث قائم‌الزاویه دارای اضلاع قائم زیر است: * ضلع قائم اول (افقی): $a = 9$ متر * ضلع قائم دوم (عمودی): $b = 3$ متر * وتر (طول مسیر): $c = L_{3m}$ طبق رابطه‌ی فیثاغورس: $$L_{3m}^2 = a^2 + b^2$$ $$L_{3m}^2 = 9^2 + 3^2$$ $$L_{3m}^2 = 81 + 9$$ $$L_{3m}^2 = 90$$ $$L_{3m} = \sqrt{90} \text{ متر}$$ **ساده‌سازی:** $\sqrt{90} = \sqrt{9 \times 10} = 3\sqrt{10}$ متر (حدوداً $3 \times 3.16 = 9.48$ متر). --- ### **۲. محاسبه طول مسیر برای طبقه‌ی اول (مسیر طبقه ۱ به ۲):** در این حالت، مثلث قائم‌الزاویه دارای اضلاع قائم زیر است: * ضلع قائم اول (افقی): $a = 9$ متر * ضلع قائم دوم (عمودی): $b = 1/5 = 1.5$ متر * وتر (طول مسیر): $c = L_{1.5m}$ طبق رابطه‌ی فیثاغورس: $$L_{1.5m}^2 = a^2 + b^2$$ $$L_{1.5m}^2 = 9^2 + (1.5)^2$$ $$L_{1.5m}^2 = 81 + 2.25$$ $$L_{1.5m}^2 = 83.25$$ $$L_{1.5m} = \sqrt{83.25} \text{ متر}$$ **نتیجه‌گیری نهایی:** * **طول مسیر بین طبقات با اختلاف ارتفاع $3$ متر** (مسیرهای میانی) برابر است با: $\mathbf{\sqrt{90}}$ یا $\mathbf{3\sqrt{10}}$ متر. * **طول مسیر بین طبقات با اختلاف ارتفاع $1.5$ متر** (مسیر طبقه ۱ به ۲) برابر است با: $\mathbf{\sqrt{83.25}}$ متر.